变换（Transformation）

1. 缩放

（1）均匀缩放

（2）不均匀缩放

（3）反射

（4）切变矩阵（Shear Matrix）

（5）旋转矩阵

2. 齐次坐标

主要用于应对平移操作，因为该变换不能写成上面的线性变换形式，只能写成：P24

由于它是一个特殊情况，为了统一所有的变换表示，引入了齐次坐标。

通过将二维的点和向量，增加一个维度，使得平移操作也可以写成一个矩阵*向量的形式P25

最终得出来Affine仿射变换P27

代价：引入了额外的数字，任何点变成xy1，任何向量变成xy0

注意：只有在仿射变换时，齐次坐标矩阵最后一行才是001，并非任何情况都是001.比如投影变换，它是有意义的。

逆变换：逆矩阵

正向旋转和反向旋转：想要求出一个相反的旋转，只需要先写出正向旋转，然后将它转置，得出的就是逆。在数学上，如果一个矩阵的逆等于它的转置，那么这个矩阵就是正交矩阵。

3. 变换的组合与分解

复杂的变换可以通过简单变换组合得到，但是要注意变换顺序（即：矩阵乘的顺序，因为矩阵不满足交换律）。

先用线性变换然后再用平移变换？在三维空间也一样。

组合的应用顺序要和矩阵的乘法顺序反过来。

变换不仅可以组合也可以分解

4. 3D变换

旋转：如果是按着某一个轴旋转，那么该轴的值不变P8

对于复杂旋转，都是可以用x,y,z旋转进行组合

P10罗德里格斯旋转公式：与2D的思想一致，把轴n的起点移到起点，然后再旋转？

5. Viewing Transformation

(1) View / Camera transformation

P12如何得到“一张照片”？MVP变换

view transformation：摆放一台“相机”

我们需要：相机位置 + 相机Look-at + 向上方向（Up Direction）

我们规定：相机位置Origin + Look at Z + up at Y（写成矩阵形式为P16）

(2) Projection Transformation

正交投影

P21通俗做法

P22正规做法：把一个三维空间的正方体，首先平移到原点位置，然后缩放到空间【-1， 1】形成一个标准正方体。

由于我们是沿着-Z方向去看，所以会导致远处的Z值比近处的Z值小，这样是为了抱着右手坐标系。而OpenGl则假设为左手坐标系，因为更方便。

透视投影

特点：假设相机无限远，平行线不再平行，近大远小。

齐次坐标将被应用到透视投影中。

P29规定：近平面的四个点（平面上的任何一个点）不变 + 远平面上Z方向不变 + 远近平面中心点不变

挤压这一步怎么做？

P30：点x和y的求法：基于相似三角形，知道Z就能求出prime X和Y